Каква е основната разлика между краен набор и безкраен набор?


Отговор 1:

Пиша тук основната разлика между 3 категории ..

1: Краен комплект

2: Сменяем безкраен комплект

3: Безчетлив безкраен комплект ..

Можем да разграничим горните 3 категории само като проверим тяхната сменяемост. Но въпросът е как да проверите счетливостта ...

В FINITE SETS, разбира се, елементите са счетливи, например: A = {3, 5, 6, 9}, B = {a, e, i, o, u} C = {x: x <50, x принадлежи на N} и др. Във всички тези примери кардиналността е много ясна.

Но в INFINITE SETS: елементите могат да бъдат преброени потенциално или не могат да бъдат преброени. Като, започваме с безкрайния набор с най-малка кардиналност ...

Набор от естествени числа N-> Безкраен, счетлив

Комплект от цели числа W-> Безкрайно, счетливо

Комплект от цели числа Z -> безкраен, счетлив

Комплект рационални числа Q -> Безкраен, счетлив

Набор от ирационални числа I -> Безкраен, неизчислим

Набор от реални числа R -> Безкраен, неизчислим

Безкрайният набор е счетлив, ако съществува биективно картографиране, т.е. има съответствие една към една между множеството елементи и естественото число. Това означава, че сме в състояние да подредим елементите от набора в един прост един ред или в редове и колони. & ние сме много сигурни кое число следва. И по естествен номер разумно можем да подредим елементите .. като 1-ви елемент, 2-ри елемент, 3-ти елемент ....... така нататък ... Само това, че тези редове и колони продължават до безкрайност ...

Например… естествени числа 1,2,3,4,5,6,7, ……… .. безкрайност

Цели числа O, 1,2,3,4,5, ………… безкрайност

Цели числа отрицателна безкрайност… .. -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5 …… безкрайност

Рационални 1/1, 1 / 2,1 / 3,1 / 4, …… ..

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 .......

3 / 1,3 / 2,3 / 3,3 / 4, ...

4 / 1,4 / 2,4 / 3,4 / 4,4 / 5 ........

Ако продължим по този начин, можем да забележим, че всички възможни фракции ще се поберат в горния списък в един или други редове и колони.

И така, всичко по-горе са счетните безкрайни множества.

Както знаем, че множеството на Real число е обединението на две множества, Rationals & Irrationals

Наборът от реални числа не се отчита, тъй като между всеки 2 реални числа има още едно рационално и ирационално число, така че биективното картографиране между елементите и естествените числа не е възможно.

Така че, набор от реални числа не може да се изчислява, а наборът от рационални стойности е счетлив. Така че наборът от ирационални трябва да бъде безчетлив. Ако не е така, наборът от реални числа ще стане счетлив, което не е така ...


Отговор 2:

Ако имаме ограничен набор и отброяваме неговите елементи (т.е. ги сравняваме едно към едно с естествените числа), тогава броенето приключва и съответното естествено число, с което приключихме, е числото на елементи в комплекта.

Ако имаме безкраен набор и броим неговите елементи, тогава преброяването не свършва. Няма естествено число, съответстващо на броя елементи в набора.

Това е основната разлика. Казано по друг начин, елементите на краен набор не могат да бъдат съпоставени едно към едно с всички елементи на

N\mathbb N

, Или, в техническо отношение, няма инжектиране на

N\mathbb N

в краен набор, но има такава инжекция в безкраен набор.

Също така, всеки безкраен набор има свойството, че някои от неговите елементи могат да бъдат премахнати и въпреки това полученият подмножество все още може да се съпостави едно към едно с оригиналния набор (например, естествените числа могат да бъдат сдвоени, едно към -един, с подмножеството му четни числа). Това не е възможно с ограничен набор. Това всъщност е отличително свойство: с него може да се определи съществената разлика между краен набор и безкраен набор.


Отговор 3:

Безкрайните набори могат да бъдат инжектирани в подходящо подмножество. Окончателните набори не могат.

Нека да го разопаковаме.

„Инжектиране“ от един набор в друг означава, че за всеки елемент от набора „от“, избирате уникален елемент от набора „в“.

Например, като се има предвид множеството страни на куба и числата 1–10, инжекция от страните към числата би поставила различно число от всяка страна на куба. Ако сложите 1 от две различни страни, няма да е инжекция. Обърнете внимание, че за инжектирането не е необходимо да се използват всички елементи от комплекта „in“. При инжектирането от страни на куба в 1-10 имаше четири числа, които не бяха използвани.

"Правилното подмножество" на множеството има всички свои елементи в множеството, но не всички елементи в набора са в подмножеството. Например, наборът от едноцифрени прости числа е правилно подмножество от 0–9, тъй като 2,3,5 и 7 са всички в 0–9, но 8 не е в множеството на едноцифрени прайми.

Нека да разгледаме „естествените числа“ и „четните естествени числа“. Ясно е, че всички дори естествени числа са естествени числа, така че евентите са подмножество от природни. Ясно е също, че 3 е естествено число, което не е равномерно. Така че евентите са правилно подмножество от натуралисти.

Но всяко естествено число може да бъде свързано с уникално дори естествено число. Ти имаш

12,24,36,,147294,1\to2, 2\to4, 3\to6, \ldots, 147\to294, \ldots

, Това картографиране е инжекция.

Това означава, че естествените числа са безкрайно множество.

Като друг пример, разгледайте набора от низове с крайна дължина. Този комплект изглежда така

Σ={"","a","ab","aab","bob",}\Sigma^* = \{"", "a", "ab", "aab", "bob", \ldots\}

, въпреки че не съм ги поставил в някакъв конкретен ред. Един от елементите на множеството е низът, състоящ се от буквата „a”, повтаряна googleplex пъти. Сега помислете за комплекта

bΣ={"b"+σσΣ}b\Sigma^* = \{ "b"+\sigma | \sigma \in \Sigma^*\}

или набора от низове, образувани чрез вземане на всеки низ

Σ\Sigma^*

и предхождайки буквата „б“ към него. Така

bΣ={"b","ba","bab","baab","bbob",}b\Sigma^* = \{"b", "ba", "bab", "baab", "bbob", \ldots\}

, включително низ, състоящ се от буквата „b“, последвана от googleplex букви „a“. Тъй като всеки елемент на

\bΣ\b\Sigma^*

isafinitelengthstringofletters,itisasubsetofΣ.Sincethereareelementsof[math]Σ[/math]notin[math]bΣ[/math],itisapropersubset.Andsinceeveryelementof[math]Σ[/math]correspondstoauniqueelementin[math]bΣ[/math],thereisaninjection[math]ΣbΣ[/math].So[math]Σ[/math]isaninfiniteset. is a finite-length string of letters, it is a subset of \Sigma^*. Since there are elements of [math]\Sigma^*[/math] not in [math]b\Sigma^*[/math], it is a proper subset. And since every element of [math]\Sigma^*[/math] corresponds to a unique element in [math]b\Sigma^*[/math], there is an injection [math]\Sigma^* \to b\Sigma^*[/math]. So [math]\Sigma^*[/math] is an infinite set.

Другите два отговора говорят за „преброими“ и „нечетливи“ множества, които всъщност не са в основата на въпроса. Грубо казано, един набор е „счетлив“, когато може да се инжектира в множеството естествени числа. Всички крайни множества са счетливи, наборът от естествени числа очевидно се поддава под това определение,

Σ\Sigma^*

е счетливо.

Математикът Георг Кантор доказа, че е невъзможно да се инжектира силовият набор от набор (набор от всички подмножества) в множеството - не можете да инжектирате

{,{1},{2},{1,2}}\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}

в

{1,2}\{1,2\}

например. Това означава, че не можете да инжектирате

P(N)N\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{N}

, Така че

P)N)\mathcal{P})\mathbb{N})

не се брои или не може да се изчисли. Така че някои безкрайни множества са счетливи, а някои безкрайни множества са неизчислими.

Идеята, че един безкраен набор може да бъде инжектиран в правилен подмножество от себе си, е ефективно определянето на това какво означава даден набор да бъде безкраен.