Има ли специфична разлика между двоен интеграл и итерализиран интеграл?


Отговор 1:

Повърхностен интеграл срещу итериран интеграл:

Повърхностният интеграл е интеграл, при който функцията е интегрирана или оценена по протежение на повърхност, която лежи на по-голямо измерение на пространството. Двуизмерният повърхностен интеграл е взет във форма, вградена в пространство с по-големи измерения.

Но в Iterated интеграл той може да интегрира само функция, която е ограничена от 2D регион по отношение на безкрайно малката област

Тоест, можем да вземем повърхностния интеграл на сфера, да речем, в три измерения. Можем да картографираме повърхността на сферата в равнина и след това да вземем интеграла.

Друг пример е този на куб в 3D. Ясно е, че повърхността на куба е 2D в природата, но самият куб е вграден в 3D пространство. Можем да вземем интеграла над тази повърхност.

Можете да мислите за повърхностните интеграли по този начин: ако можем по някакъв начин да разгънем, разтегнем, завъртим, изрежем и огънем повърхността на някаква форма, за да я направим плоска, тогава можем да вземем повърхностната неразделна част от границата на формата. Но самата форма не е непременно плоска и със сигурност не е двуизмерна.

Итерираният интеграл може да бъде взет само в двуизмерно пространство. Тоест, можем да го поемем само в регион с 2D пространство. Като квадрат, кръг или друга форма с вътрешност.

Така че един повърхностен интеграл може да доведе до итерализиран интеграл, ако можем да картографираме (разтегнем, завъртим и т.н.) повърхността до двуизмерно пространство и, обратно, ако можем да преброим двуизмерното пространство в повърхност с по-голям размер, тогава можем да вземем повърхността интеграл! Хубава симетрия между двете за достатъчно хубави повърхности и форми (макар че повърхностният интеграл е по-общ, ако вземем предвид изключителни случаи).

Повърхностният интеграл се превръща в интегриран интеграл, когато повърхността е проектирана върху произволна равнинна област.


Отговор 2:

В патологични случаи има значение редът на интеграция. Например

0101x2y2(x2+y2)2dydx=π4\int_0^1{\int_0^1{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy}dx} = \frac{\pi}{4}

, но знакът за интегрални промени се променя, ако поръчката е обърната. (Като се има предвид, че интегралът съществува и не е нулев, тогава е доста очевидно, че знакът ще се промени - обменят

xx

и

yy

.)

Но подобно нещо не се случва, ако съществува двойният интеграл. Така че двойният интеграл трябва да е коренно различен. Двойните интеграли са дефинирани по подобен начин на единичните интеграли - подразделете домейна и оставете парчетата да имат нула по размер. Повтарящият се интеграл е подобен, но домейнът е разделен на мрежа от правоъгълници, а ширините и височините имат тенденция към нула отделно и редът има значение.

Ако знаете за интеграцията на Лебес, потърсете теоремите на Фубини-Тонели.