Ако сборът от квадрати на две числа е 80, а квадратът на разликата между двете числа е 36, тогава какъв е произведението на две числа?


Отговор 1:

Отговорът е 22.

Нека двете числа са x, и y.

Посочените условия са:

  • Сумата от квадрати на две числа е 80.x² + y² = 80Кварата на разликата между двете числа е 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Вземете второто условие и изведете стойност за x².

  • Х-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Заменете x² в първото състояние с получената стойност.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Така произведението на двете числа (x, y) е 22.


Отговор 2:

Първо условие:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Второ условие:

(ab)2=36(a-b)^2=36

От второ условие:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

,

Замяна на първо условие:

802ab=3680-2ab=36

, реорганизиране

2ab=8036=442ab=80-36=44

Така

2ab=442ab=44

и

ab=22ab=22

,

Отговорът: продуктът е 22.

В случай, че искате да разрешите цялата система: разликата е

36=6\sqrt{36}=6

, и продукт е

2222

, така че за

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

, Така че, ако получим решенията за

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

можем да разрешим проблема.

Решението за

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

е

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

, Така

a=31+3a=\sqrt{31}+3

и

b=313b=\sqrt{31}-3

,

Лесно е да се докаже, че тези две числа отговарят на условията на въпроса и отговора.


Отговор 3:

Първо условие:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Замяна на първо условие:

319=2231–9=22

, реорганизиране

x2+y2=80x^2+y^2=80

Така

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

и

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

В случай, че искате да разрешите цялата система: разликата е

36=6\sqrt{36}=6

, и продукт е

2222

, така че за

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

, Така че, ако получим решенията за

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

можем да разрешим проблема.

Решението за

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

е

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

, Така

a=31+3a=\sqrt{31}+3

и

b=313b=\sqrt{31}-3

,

Лесно е да се докаже, че тези две числа отговарят на условията на въпроса и отговора.